Question

已知函數f(x)=

2x-a

2x+1

是奇函數，
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）解不等式f(x)＜

3

5

．

Answer 1

分析：（1）因為該函數是奇函數且在0處有定義，那么f（0）=0，就可求出a的值．
（2）利用從部分到整體的思路去解決，先從2^x＞0出發最后得出1-

21

2x+1

的范圍，即f（x）的值域．
（3）通過等價轉化化簡原不等式，最后兩邊取對數，就可解出x的范圍，即不等式的解集．

解答：解：（1）由函數表達式易知：f（x）的定義域為R
∵0∈R，又函數f（x）是奇函數
∴f（0）=0，即

1-a

2

=0，∴a=1．
（2）由（1）可知f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
∴f（x）的值域為（-1，1）
（3）∵f(x)=

2x-1

2x+1

∴原不等式可化為：

2x-1

2x+1

＜

3

5

，兩邊同乘2^x+1
  化簡整理得：2^x＜4
兩邊同時取以2為底的對數得：x＜2
所以不等式的解集為：{x|x＜2}．

點評：本題考查了函數的奇偶性，函數求值域的一種方法，從部分到整體的方法，還有解指數不等式方法是兩邊取對數．