Question

（2013•上海）如圖，某校有一塊形如直角三角形ABC的空地，其中∠B為直角，AB長40米，BC長50米，現欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且B為矩形的一個頂點，求該健身房的最大占地面積．

Answer 1

分析：設出矩形的邊FP的邊長，利用三角形相似求出矩形的寬，表示出矩形面積，利用二次函數的最值求解即可．

解答：解：如圖，設矩形為EBFP，FP長為x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面積為y平方米．因為△CFP∽△CBA，
以

FP

BA

=

CF

CB

，

x

40

=

50-BF

50

，求得BF=50-

5

4

x，
從而y=BF•FP=（50-

5

4

x）x
=-

5

4

x2+50x
=-

5

4

(x-20)2+500
≤500．
當且僅當x=20時，等號成立．
答：該健身房的最大占地面積為500平方米．

點評：本題考查函數的實際應用，表示出函數的表達式是解題的關鍵，考查分析問題解決問題的能力．