Question

如圖所示，ABCD是正方形，平面ABCD，E，F(xiàn)是AC，PC的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線線平行、線線垂直、線面垂直、三棱錐的體積等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035217449506.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以對(duì)角線互相垂直，在中分別是中點(diǎn)，利用中位線，得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035217371394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，∴平面，∴垂直面內(nèi)的線，利用線面垂直的判斷，得平面，所以得證；第二問，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035217667393.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以顯然是三棱錐的高，在正方形中求出的邊長及面積，從而利用等體積法將轉(zhuǎn)化為，利用三棱錐的體積公式計(jì)算.
試題解析：（1）連接，

∵是正方形，是的中點(diǎn)，
∴                       1分
又∵分別是的中點(diǎn)
∴ ∥                    2分
又∵平面， ∴平面，      3分
∵平面,  ∴                     4分
又∵  ∴平面            5分
又∵平面
故                            6分
（2）∵平面，∴是三棱錐的高，
∵是正方形，是的中點(diǎn)，∴是等腰直角三角形         8分
，故,                  10分
故                           12分