Question

某智力測試有5道試題．假定任何智力正常的人答對第i道題的概率是

1

3

（i=1，2，3，4，5）．
（1）求智力正常的人將這5道試題都答錯了的概率及至少答對了的4道試題的概率；
（2）如果甲將這5道試題都答錯了，乙答對了的4道試題，答錯了1道試題．能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平．請運用所學概率知識表達你的觀點．

Answer 1

分析：（1）由題意知智力正常的人將這5道試題都答錯了的概率可以利用相互獨立事件的概率公式求出結果，至少答對了的4道試題包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，得到概率．
（2）根據智力正常的人將這5道試題都答錯了的概率P₀=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平，智力正常的人答對了的4道試題以上的概率P=0.045＜0.05，根據所得的結論判定出來．

解答：解：（1）智力正常的人將這5道試題都答錯了的概率為P0=(1-

1

3

)5=

32

243

=0.132（3分）
答對了的4道試題的概率為P4=

C

4 5

(

1

3

)4(1-

1

3

)=

10

243

=0.041
答對了的5道試題的概率為P5=

C

5 5

(

1

3

)5=

1

243

=0.004
∴智力正常的人答對了的4道試題以上的概率為P=P4+P5=

11

243

=0.045（7分）
（2）智力正常的人將這5道試題都答錯了的概率P₀=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平  （9分）
智力正常的人答對了的4道試題以上的概率P=0.045＜0.05．根據小概率事件在一次試驗中幾乎不發生的原理知，假設乙的智力在正常水平，答對了的4道試題的情況幾乎不發生．從而可以認定乙的智力高于正常水平．     （12分）

點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是符合什么規律，然后進行求解．