Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)方程的根，對(duì)此根與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，并確定函數(shù)的單調(diào)性，得到，消去并化簡得到，通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合，得到，從而求出的值.
（1），，
令得. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051319166818.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，時(shí)，，
所以在遞增，在遞減；
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上遞減，
所以時(shí)取最大值；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在遞增，在遞減，
所以時(shí)，取最大值；
③當(dāng)即時(shí)，在遞增，
所以時(shí)取最大值；
（2）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051318698753.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，
令，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051319868457.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，
則，即， 
所以，即，
設(shè)，
，恒成立，故在單調(diào)遞增，
至多有一解，
又，所以，即，解得.