Question

【題目】（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)設橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為，所以，橢圓C的方程是x2+=1. …………（4分）

(Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=．

由解得即兩圓相切于點(1，0)．

因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）

事實上，點T(1，0)就是所求的點．證明如下：

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.

記點A(x1,y1),B(x2,y2),則…………（9分）

又因為=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),

·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1 =(k2+1) +(k2-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．

所以在坐標平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件． …………（13分）

【解析】略