已知函數
(1)當a=2時,求函數y=f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(2)判斷函數f(x)的單調性;
(3)求證:
(1) ;(2) 參考解析;(3)參考解析
【解析】
試題分析:(1)已知函數是一個 含對數與分式,以及復合函數,需要正確地對函數
求導,因為函數在x=0處的切線方程,所以將x=0代入導函數,即可求出切線的斜率.再根據橫坐標為0,計算出縱坐標,根據點斜式即可寫出切線方程.
(2)需要判斷函數的單調性,要對函數求導,判斷導函數的值的正負,所以要根據參數
的情況分類討論后作出判定.
(3)解法(一)令為特殊值,通過函數的單調性得到一個不等式成立,再將x轉化為數列中的n的相關的值,再利用一個不等式,從而得到結論.解法(二)根據結論構造函數,通過函數的最值證明恒成立,再將x轉化為n的表達式即可.
試題解析:(1)當時,
,
∴,
∴,所以所求的切線的斜率為3.又∵
,所以切點為
. 故所求的切線方程為:
.
(2)∵,
∴. ①當
時,∵
,∴
; 7分
②當時,
由,得
;由
,得
; 綜上,當
時,函數
在
單調遞增;
當時,函數
在
單調遞減,在
上單調遞增.
(3)方法一:由(2)可知,當時,
在
上單調遞增. ∴ 當
時,
,即
. 令
(
),則
. 另一方面,∵
,即
,
∴ . ∴
(
). 方法二:構造函數
,
∴
, ∴當
時,
;
∴函數在
單調遞增. ∴函數
,即
∴,
,即
令(
),則有
.
考點:1.函數的導數的幾何意義.2.函數的單調性.3.函數與數列的知識交匯.4.構造新函數的思想.5.運算能力.
科目:高中數學 來源:安徽省桐城十中2012屆高三上學期第一次月考數學理科試題 題型:044
已知函數.
(1)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求函數y=f(x)的單調區間;
(2)若對于都有f(x)>2(a-1)成立,試求的取值范圍;
(3)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R).當a=1時,函數g(x)在區間[e-1,e]上有兩個零點,求實數b的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年河南省原名校高三上學期期聯考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數f(x)=-(a+2)x+lnx.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f (1))處的切線方程;
(2)當a>0時,若f(x)在區間[1,e)上的最小值為-2,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年江蘇省高三上學期第一次調研考試數學試卷(實驗班) 題型:解答題
(本小題14分)已知函數f(x)=(x+
-a)的定義域為A,值域為B.
(1)當a=4時,求集合A;
(2)當B=R時,求實數a的取值范圍.
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