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已知函數

1)當a2時,求函數yf(x)的圖象在x=0處的切線方程;

2)判斷函數f(x)的單調性;

3)求證:

 

【答案】

(1) (2) 參考解析;(3)參考解析

【解析】

試題分析:(1)已知函數是一個 含對數與分式,以及復合函數,需要正確地對函數求導,因為函數在x=0處的切線方程,所以將x=0代入導函數,即可求出切線的斜率.再根據橫坐標為0,計算出縱坐標,根據點斜式即可寫出切線方程.

(2)需要判斷函數的單調性,要對函數求導,判斷導函數的值的正負,所以要根據參數的情況分類討論后作出判定.

3)解法(一)令為特殊值,通過函數的單調性得到一個不等式成立,再將x轉化為數列中的n的相關的值,再利用一個不等式,從而得到結論.解法(二)根據結論構造函數,通過函數的最值證明恒成立,再將x轉化為n的表達式即可.

試題解析:(1)當時,

,所以所求的切線的斜率為3.又∵,所以切點為. 故所求的切線方程為:.

2)∵

. ①當時,∵,∴

②當時,

,得;由,得; 綜上,當時,函數單調遞增;

時,函數單調遞減,在上單調遞增.

3)方法一:由(2)可知,當時,上單調遞增. ∴ 當時,,即 ),則. 另一方面,∵,即,

∴ . ∴ ). 方法二:構造函數, ∴當,

∴函數單調遞增. ∴函數 ,即

,即

),則有

考點:1.函數的導數的幾何意義.2.函數的單調性.3.函數與數列的知識交匯.4.構造新函數的思想.5.運算能力.

 

練習冊系列答案
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(2)若對于都有f(x)>2(a-1)成立,試求的取值范圍;

(3)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R).當a=1時,函數g(x)在區間[e-1,e]上有兩個零點,求實數b的取值范圍.

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(1)當a=4時,求集合A;

(2)當B=R時,求實數a的取值范圍.

 

 

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