Question

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為F₁、F₂。點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點。

（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂。
（i）證明：；
（ii）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為橢圓過點，
所以
又a²=b²+c²
所以
故所求橢圓方程為；
（Ⅱ）（i）由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，且點P不在x軸上
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0
又直線PF₁，PF₂的方程分別為y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）
聯立方程得
所以
由于點P在直線x+y=2上
所以
因此2k₁k₂+3k₁-k₂=0
即
結論成立；
（ii）設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C） ，D（x_D，y_D）
聯立直線PF₁與橢圓的方程得
化簡得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0
因此
由于OA，OB的斜率存在
所以x_A≠0，x_B≠0
因此k₁²≠0，1
因此
                    
                    
                   
相似地可以得到
故
                                
若k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，須有k₁+k₂=0或k₁k₂=1
①當k₁+k₂=0時，結合（i）的結論，可得k₂=-2，所以解得點P的坐標為（0，2）；
②當k₁k₂=1時，結合（i）的結論，解得k₂=3或k₂=-1（此時k₁=-1，不滿足k₁≠k₂，舍去），此時直線CD的方程為y=3（x-1），聯立方程x+y=2得
因此
綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為（0，2），。