Question

已知橢圓，A₁、A₂、B是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于橢圓頂點的P、Q兩點，且l∥A₂B．若此橢圓的離心率為，且
（I）求此橢圓的方程；
（II）設直線A₁P和直線BQ的傾斜角分別為α、β，試判斷α+β是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓的離心率求得a和c的關系，利用勾股定理求得a和b的關系式，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）由（I）可值A₂（2，0），B（0，1），利用l∥A₂B，求得直線l的斜率，設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，然后分別表示出tanα和tanβ，令二者相加，化簡整理求得結果為0，進而可利用正切的兩角和公式求得tan（α+β）=0，判斷出α+β=π是定值．
解答：解：（I）由已知可得
，求得a=2，b=1
∴橢圓方程為
（II）α+β是定值π．
由（I）A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B，所以直線l的斜率k=-，
設直線l的方程為y=-x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
，x²-2mx+2m²-2=0
∴△=4m²-4（2m²-2）=8-4m²≥0，即≤m≤

∵P、Q兩點不是橢圓的頂點∴、
∴，
又因為，
=
=
∴，又α，β∈（0，π）
∴α+β∈（0，2π）∴α+β=π是定值
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．