Question

橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓短軸的一個頂點 B 與兩焦點 F₁、F₂組成的三角形的周長為 4+2

3

且∠F₁BF₂=

2π

3

，則橢圓的方程是

x2

4

+y2=1或x2+

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：先結合橢圓圖形，通過直角三角形△F₂OB推出a，c的關系，利用周長得到第二個關系，求出a，c然后求出b，求出橢圓的方程．

解答：解：設長軸為2a，焦距為2c，
則在△F₂OB中，由∠F₂BO=

π

3

得：c=

3

2

a，
所以△F₂OF₁的周長為：2a+2c=4+2

3

，
∴a=2，c=

3

，∴b²=1
則橢圓的方程是

x2

4

+y2=1或x2+

y2

4

=1．
故答案為：

x2

4

+y2=1或x2+

y2

4

=1．

點評：本題主要考查考察查了橢圓的標準方程的求法，關鍵是求出a，b的值，易錯點是沒有判斷焦點位置．