Question

記函數f（x）的導數為f^（1）（x），f^（1）（x）的導數為f^（2）（x），…f^（n-1）（x）的導數為f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+

f(1)(0)

1！

x+

f(2)(0)

2！

x²+

f(3)(0)

3！

x³+…+

f(n)(0)

n！

xⁿ，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根據這個結論，則可近似估計自然對數的底數e≈

8

3

（用分數表示）．

Answer 1

分析：利用（e^x）^（n）=e^x及其所給的展開式即可得出．

解答：解：令f（x）=e^x，則f^′（x）=f^″（x）=f^（3）（x）=e^x，且f^′（0）=f^″（0）=f^（3）（0）=1．
∴e=f（1）≈e0+

1

1!

×1+

1

2!

×12+

1

3!

×13
即e≈1+1+

1

2×1

+

1

3×2×1

=

8

3

．
故答案為

8

3

．

點評：熟練掌握（e^x）^（n）=e^x及正確理解所給的展開式是解題的關鍵．