Question

函數f（x）=lnx+

1

x

+ax（a∈R）
（1）a=0時，求f（x）最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）是單調增函數，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用導數求函數的最小值．（2）要使f（x）在[2，+∞）是單調增函數，則f'（x）≥0恒成立．

解答：解：（1）a=0時，f(x)=lnx+

1

x

f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當0＜x＜1時f'（x）＜0，此時函數f（x）遞減．
當x＞1時，f'（x）＞0，此時函數f（x）遞增．
∴f（x）在（0，1）單減，在（1，+∞）單增．
∴x=1時f（x）有最小值1        …（6分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

，
∵f（x）在[2，+∞）為增函數，∴f'（x）≥0恒成立，
則

ax2+x-1

x2

≥0x≥2恒成立，∴a≥(

1

x

)2-

1

x

最大值   …（9分）
令g(x)=(

1

x

)2-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
則x≥2時，則0＜

1

x

≤

1

2

-

1

4

≤g(x)＜0，
∴a≥0…（13分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數和函數單調性，最值之間的關系，考查學生的運算能力．