Question

設0＜|

a

|≤2，函數f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|的最大值0，最小值為-4，且

a

與

b

的夾角為45°，求（

a

+

b

）²．

Answer 1

分析：由已知f（x）可變形為：f（x）=-(sinx+

| a |

2

)2+

| a |2

4

-|

b

|+1，根據-1≤sinx≤1，0＜|

a

|≤2及二次函數性質可求出f（x）的最大值、最小值，令其分別為0，-4，可解出|

a

|，|

b

|，進而可求得(

a

+

b

)2．

解答：解：f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|=-sin²x-|

a

|sinx-|

b

|+1=-(sinx+

| a |

2

)2+

| a |2

4

-|

b

|+1，
因為-1≤sinx≤1，0＜|

a

|≤2⇒-1＜-

| a |

2

＜0，
所以當sinx=-

| a |

2

時，f（x）取得最大值為

| a |2

4

-|

b

|+1，
當sinx=1時，f（x）取得最小值為-|

a

|-|

b

|，
由題意得，

| a |2

4

-|

b

|+1=0①，-|

a

|-|

b

|=-4②，
聯立①②解得|

a

|=2，|

b

|=2，
又

a

與

b

的夾角為45°，
所以(

a

+

b

)2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=4+4+2×2×2cos45°=8+4

2

．

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值求解及向量的數量積運算，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，屬中檔題．