Question

【題目】已知圓C： ，直線l：

（Ⅰ）求直線l所過定點A的坐標；

（Ⅱ）求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；

（Ⅲ）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數。

Answer 1

【答案】（1）直線過定點（2）（3）

【解析】試題分析：（1）將直線中m合并到一起，然后令系數及剩余都為0即可得定點（2）直線l被圓C所截得的弦長最短時即當時（3）由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，則設， ，得 ，且再根據圓系方程可得對任意恒成立， 且即可求出結論

試題解析：

解：（Ⅰ）依題意得，

令且，得

直線過定點

（Ⅱ）當時，所截得弦長最短，由題知，

，得， 由得

圓心到直線的距離為

最短弦長為

（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，

則設， ，得 ，且

整理得，

上式對任意恒成立， 且

解得 或（舍去，與重合）

綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數

法二：設直線上的點

取直線與圓的交點，則

取直線與圓的交點，則

令，解得或（舍去，與重合），此時

若存在這樣的定點滿足題意，則必為，

下證：點滿足題意，

設圓上任意一點，則

綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數