Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

Answer 1

（Ⅰ）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入求導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時(shí)，方程有兩個(gè)根.

（Ⅲ）結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足.
，這里面有兩個(gè)變量，那么能否換掉一個(gè)呢？
由，得，利用這個(gè)關(guān)系式便可將換掉而只留：
，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）若，，則，
當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 4分
（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，
即方程有兩個(gè)根，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減且．
要使有兩個(gè)根，只需，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足， 10分
由，得，
所以，
由于，故，
所以． 14分