Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，，E，F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角F-EC-D的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：設G為PC的中點，連接FG，EG，
∵F為PD的中點，E為AB的中點，
∴FGCD，AECD
∴FGAE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD的中點M，連接FM，EM，MC，
因為F是PD的中點；
∴FM∥PA；
∴FM⊥平面ABCD；?EC⊥FM①
在三角形EMC中，
因為MC==3；ME==；EC==；
∴MC²=ME²+EC²；
∴EM⊥EC ②；
∴由①②得EC⊥平面FME，
∴EC⊥FE，
即∠FEM為二面角F-EC-D的平面角，
而tan∠FEM====；
∴∠FEM=30°．
故二面角F-EC-D為30°．
分析：（Ⅰ）設G為PC的中點，連接FG，EG，根據中位線定理得到FGCD，AECD，進而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．
（Ⅱ）根據PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．
（Ⅲ）取AD的中點M，連接FM，EM，MC，根據條件可得∠FEM為二面角F-EC-D的平面角，在求出三角形的邊長即可得到結論．
點評：本題主要考查線面垂直的判定定理和性質定理、面面垂直的判定定理．考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運用能力．