Question

沿著正四面體OABC的三條棱

OA

、

OB

、

OC

的方向有大小等于1、2、3的三個力f₁、f₂、f₃．試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦．

Answer 1

分析：要求試求此三個力的合力的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦．我們要結合向量模的求法及向量夾角的求法，由于本題中沒有坐標，故求向量的模時，我們可以利用向量模的平方等于向量的平方來處理，而要注夾角的余弦值，則可以根據夾角公式，求出兩個向量的數量積再除以兩個向量的模即可求解．

解答：解：用

a

、

b

、

c

分別代表棱

OA

、

OB

、

OC

上的三個單位向量，則

f

₁=

a

，

f

₂=2

b

，

f

₃=3

c

，則

f

=

f

₁+

f

₂+

f

₃=

a

+2

b

+3

c

，
∴|

f

|²=（

a

+2

b

+3

c

）•（

a

+2

b

+3

c

）
=|

a

|²+4|

b

|²+9|

c

|²+4

a

•

b

+6

a

•

c

+12

b

•

c

=1+4+9+4|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞+6|

a

||

c

|cos＜

a

，

c

＞+12|

b

||

c

|cos＜

b

，

c

＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴|

f

|=5，即所求合力的大小為5，
且cos＜

f

，

a

＞=

f • a

| f |•| a |

=

| a |2+2 a • b +3 a • c

5

=

1+1+ 3 2

5

=

7

10

．
同理，可得cos＜

f

，

b

＞=

4

5

，cos＜

f

，

c

＞=

9

10

．

點評：若θ為

a

與

b

的夾角，則cosθ=

a • b

| a |•| b |

，這是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟練掌握．