Question

【題目】已知圓 ，直線 .

（1）求直線 所過定點 的坐標(biāo)；
（2）求直線 被圓 所截得的弦長最短時 的值及最短弦長.
（3）已知點 ，在直線 上( 為圓心)，存在定點 (異于點 )，滿足：對于圓 上任一點 ，都有 為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點 的坐標(biāo)及該常數(shù).

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得， ，
令 ，且 ，得 ， ，∴直線 過定點
（2）解：當(dāng) 時，所截得弦長最短，由題知 ， .
∴ ，得 ，∴由 得 .
∴圓心到直線的距離為 .
∴最短弦長為
（3）解：法一：由題知，直線 的方程為 ，假設(shè)存在定點 滿足題意，
則設(shè) ， ，得 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∵上式對任意 恒成立，
∴ 且 ，
解得 ， 或 ， (舍去，與 重合)，
綜上可知，在直線 上存在定點 ，使得 為常數(shù) .
法二：設(shè)直線 上的點 .
取直線 與圓 的交點 ，則 ，
取直線 與圓 的交點 ，則 ，
令 ，解得 或 (舍去，與 重合)，此時 ，
若存在這樣的定點 滿足題意，則必為 .
下證：點 滿足題意，
設(shè)圓上任意一點 ，則 ，
∴ ∴ .
綜上可知，在直線 上存在定點 ，使得 為常數(shù)
【解析】（1）求含字母系數(shù)的直線方程所過的定點將方程轉(zhuǎn)化為該字母的等式，求得使等式恒成立時x，y的值即可；（2）利用點到直線垂線段最短的基本思路來解題；（3）先設(shè)出滿足條件的點 N 的坐標(biāo)及該常數(shù)，經(jīng)過變形后成為求解x在閉區(qū)間上使得等式恒成立的條件.