Question

已知點F（0，

3

2

），動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程；
（2）四邊形ABCD是等腰梯形，A，B在直線y=1上，C，D在x軸上，四邊形ABCD 的三邊BC，CD，DA分別與曲線W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動圓圓心P到F的距離等于P到y=

1

2

的距離，知P點的軌跡是拋物線，由此能求出雙曲線W的方程．
（2）設P（x，y），由y=

1

6

x2，y′=

1

3

x，知BC方程：y-y₁=

1

3

x1(x-x1)，令y=0，得出-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），解得x=

1

2

x1，由梯形ABCD的面積S=

1

2

×(2×

1

2

x1+2×

6+x12

2x1

)×1，能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值．

解答：解：（1）動圓圓心P到F的距離等于P到y=

1

2

的距離，
則P點的軌跡是拋物線，
且p=2，所以x²=6y為雙曲線W的方程．
（2）設P（x，y），由y=

1

6

x2，y′=

1

3

x，知BC方程：y-y₁=

1

3

x1(x-x1)，
令y=0，-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），x=

1

2

x1，
即C（

1

2

x1，0），
令y=1，1-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），

6-x12

6

=

1

3

x1(x-x1)，
x=

6-x12

2x1

+x₁=

6+x12

2x1

，即B（

6+x12

2x1

，1），
所以梯形ABCD的面積S=

1

2

×(2×

1

2

x1+2×

6+x12

2x1

)×1=

1

2

(x1+

6+x12

2x1

)
=

1

2

(x1+

6

x1

+x1)
=

1

2

(2x1+

6

x1

)
≥

1

2

×2

12

=2

3

．
當且僅當2x₁=

6

x1

，即x1=

3

時，S有最小值2

3

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查等腰梯形ABCD的面積的最小值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．