Question

設{a_n}為等比數列，T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n，已知a_n＞0，a₁=1，a₂+a₃=6．
（1）求數列{a_n}的公比；
（2）求數列{T_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則q+q²=6，解方程可求q
（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，結合數列的特點，考慮利用錯位相減可求數列的和

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則q+q²=6（2分）
∴q=2或q=-3．（4分）
又∵a_n＞0∴q=-3不合舍去
∴q=2（6分）
（2）解：由（1）知：a₁=1，q=2，
∴an=a1•qn-1=2n-1（8分）
∴Tn=1+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1①
2Tn=2+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)×2n-1+n×2n②
①-②得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n
∴Tn=1+(n-1)×2n（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式的求解，數列求和的錯位相減求和是數列求和中的重點與難點，要注意掌握