Question

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax²（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）不是其定義域上的凸函數．
f（x）的定義域為R，設x₁≠x₂，則
f（）-[f（x₁）+f（x₂）]=a-（a-a）=-＜0，
∴f（）＜[f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）不是其定義域上的凸函數
（2）∵f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）內是凸函數，
∴f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，
即＞（log_ax₁+log_ax₂）=①
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴-x₁x₂=＞0，即＞
故要①成立，則a＞1．
∴實數a的取值范圍是（1，+∞）
分析：（1）根據凸函數的定義，作差f（）-[f（x₁）+f（x₂）]判斷即可；
（2）依題意，f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]?＞，通過比較其真數的大小即可求得實數a的取值范圍．
點評：本題考查對數函數的單調性，考查作差法，著重考查推理證明的邏輯思維能力，屬于難題．