Question

已知圓C₁的圓心在直線l₁：x-y=0上，且圓C₁與直線相切于點A（，1），直線l₂：x+y-8=0．
（1）求圓C₁的方程；
（2）判斷直線l₂與圓C₁的位置關系；
（3）已知半徑為的動圓C₂經過點（1，1），當圓C₂與直線l₂相交時，求直線l₂被圓C₂截得弦長的最大值．

Answer 1

解：（1）∵圓C₁與直線相切于點，
∴圓心C₁在直線y=1上，…（1分）
又圓心C₁在直線x-y=0上，
∴圓心C₁為直線y=1和直線x-y=0的交點，即點（1，1）．…（2分）
∵圓C₁與直線相切，
∴圓C₁的半徑等于點（1，1）到直線的距離，
即圓C₁的半徑為
∴圓C₁的方程為（x-1）²+（y-1）²=8…（5分）
（2）∵圓心C₁到直線l₂的距離為…（7分）
∴直線l₂與圓C₁相離．…（8分）
（3）由已知，可設圓C₂的方程為（x-a）²+（y-b）²=8，
∵圓C₂經過點（1，1），
∴（1-a）²+（1-b）²=8，即（a-1）²+（b-1）²=8，
∴圓C₂的圓心C₂（a，b）在圓C₁上．…（10分）
設直線l₂：x+y-8=0與圓C₂的交點分別為M，N，MN的中點為P，
由圓的性質可得：，
所以求直線l₂被圓C₂截得弦長MN的最大值即求C₂P的最小值．…（12分）
又因為C₁到直線l₂的距離為，
所以C₂P的最小值為，
所以，
即，
故直線l₂被圓C₂截得弦長的最大值為．…（14分）
分析：（1）根據圓C₁與直線相切于點，可得圓心C₁在直線y=1上，利用圓心C₁在直線x-y=0上，可求圓心C₁的坐標，利用圓C₁與直線相切，可求圓C₁的半徑，從而可得圓C₁的方程；
（2）利用圓心C₁到直線l₂的距離與半徑的關系，可得直線l₂與圓C₁的位置關系；
（3）先確定圓C₂的圓心C₂（a，b）在圓C₁上，設直線l₂：x+y-8=0與圓C₂的交點分別為M，N，MN的中點為P，進而可知求直線l₂被圓C₂截得弦長MN的最大值即求C₂P的最小值，利用C₂P的最小值為d-|C₁C₂|，可求直線l₂被圓C₂截得弦長的最大值．
點評：本題以直線與圓相切為載體，考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查圓中的弦長問題，熟練運用圓心到直線的距離是解題的關鍵，綜合性強．