Question

已知數列{a_n}滿足：a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N⁺，我們把使a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數的數k（k∈N⁺）叫做數列{a_n}的理想數．給出下列關于數列{a_n}的幾個結論：
①數列{a_n}的最小理想數是2；
②數列{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=4ⁿ-2；
③在區間[1，2011]內{a_n}的所有理想數之和為2026；
④對任意的n∈N⁺，有a_n+1＞a_n．
其中正確的序號為

 

．

Answer 1

分析：由 an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）為整數的最小的n=2，數列{a_n}的最小理想數是2．{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=2^n-1，先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2）；然后根據a₁•a₂•a₃…a_k為整數，可得k=2ⁿ-2；最后由等比數列前n項和公式解決問題．對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故正確結論的序號為①③．

解答：解：an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴log₂（n+2）為整數的最小的n=2，數列{a_n}的最小理想數是2．故①正確；
{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=2^n-1，故②不成立；
∴k∈[1，2011]內所有的幸運數的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026  （2¹¹-2＞2011）
故答案為2026．
對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；

lim

n→+∞

an=1，故④不成立．
故正確答案為①③．
故答案為：①③

點評：本題考查數列的性質和應用，本題在理解新定義的基礎上，考查換底公式、疊乘法及等比數列前n項和公式，其綜合性、技巧性是比較強的．