Question

已知函數f（x）=ax²+2x+c，且f（x）＞0的解集為{x|x≠-

1

a

}．
（1）求f（2）的取值范圍；
（2）在f（2）取得最小值時，若對于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知函數f（x）=ax²+2x+c，且f（x）＞0的解集為{x|x≠-

1

a

}，可以函數開口向上，與x軸有一個交點，從而求解；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，對于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，利用常數分離法，可以將問題轉化為

1

2

（x+2）+

2

x+2

≥m在x∈[2+∞），恒成立，從而求出m的范圍；

解答：解：（1）由題意可得

a＞0 △=4-4ac=0

⇒ac=1⇒c＞0
所以f（2）=4a+4+c≥2

4ac

+4=8
當且僅當f（2）=4a+4+c≥2

4ac

+4=8
當且僅當4a=c即

a= 1 2 c=2

時“=”成立，
故f（2）的取值范圍為[8，+∞）
（2）由（1）可得f（x）=

1

2

x²+2x+2=

1

2

（x+2）²，，∴f′（x）=x+2，
因為對于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，
∴

1

2

（x+2）+

2

x+2

≥m在x∈[2+∞），恒成立，
故[

1

2

（x+2）+

2

x+2

]_min≥m即可，
又函數y=

1

2

（x+2）+

2

x+2

在x∈[2+∞）上遞增，所以[

1

2

（x+2）+

2

x+2

]_min=

5

2

，
∴m≤

5

2

；

點評：此題主要考查二次函數的性質，以及解析式的求法，第二問利用了轉化的思想，這是高考常考的熱點問題，本題是一道中檔題；