Question

如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長線上的一點，且OA=2，B為半圓上任一點，以AB為邊作等邊△ABC，問B在什么地方時，四邊形OACB的面積最大？并求出這個面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識是余弦定理，及正弦型函數的性質，由于∠AOB的大小不確定，故我們可以設∠AOB=θ，并根據余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數的解析式為正弦型函數的形式，再結合正弦型函數最值的求法進行求解．
解答：解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積
設∠AOB=θ，
則△ABC的面積=
=
=
△OAB的面積=•OA•OB•sinθ
=•2•1•sinθ=sinθ
四邊形OACB的面積==
∴當θ-60°=90°，
即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大，
其最大面積為．
點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=進行求解．