Question

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－1,0)，離心率為，過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

Answer 1

(1)由題意可知：c＝1，a²＝b²＋c²，e＝＝，解得：a＝，b＝1，故橢圓的方程為：＋y²＝1.

(2)設直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，

聯立，得，整理得

(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0

∵直線AB過橢圓的左焦點F，

∴方程有兩個不等實根，記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

AB的中點N(x₀，y₀)，

則x₁＋x₂＝，x₀＝，y₀＝，

垂直平分線NG的方程為y－y₀＝－(x－x₀)，令y＝0，得x_G＝x₀＋ky₀＝－＋＝－＝－＋，

∵k≠0，∴－＜x_G＜0.

∴點G橫坐標的取值范圍為(－，0).