Question

下列命題錯誤的是（　　）

A．若四面體的兩組對棱垂直，則第三組對棱也垂直

B．若三棱錐的三側棱兩兩垂直，則頂點在底面內的射影是底面三角形的垂心

C．若△ABC所在平面外一點到三頂點的距離相等，則該點在平面ABC內的射影是△ABC的外心

D．若△ABC所在平面外一點P到△ABC三邊的距離相等，則P在平面ABC內的射影是△ABC的內心

Answer 1

分析：對于A命題可轉化為如圖四面體ABCD，若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD．后利用幾何向量法可判斷A，對于B命題轉化為在三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，點A在平面BCD的射影為H，則點H為△BCD的垂心．然后由線面垂直的性質定理可判斷B，利用勾股定理和外心、內心的定義可判斷C、D．

解答：解：A 該命題可轉化為如圖四面體ABCD，若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD．
∵AB⊥CD，∴

AB

•

CD

=0，同理

AC

•

BD

=0
∴

BC

•

AD

=(

BA

+

AC

)(

AB

+

BD

)=

BA

•

AB

+

BA

•

BD

+

AC

•

AB

+

AC

•

BD

=

BA

(

AB

+

BD

+

CA

)=

BA

•

CD

=0即BC⊥AD，所以該命題正確．
B該命題轉化為在三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，點A在平面BCD的射影為H，則點H為△BCD的垂心．
∵BA⊥AC，BA⊥AD，∴BA⊥面ACD，又CD?面ACD，∴BA⊥CD，由三垂線定理及逆定理可知BH⊥CD．
同理  CH⊥BD，DH⊥BC  即點H是△BCD的垂心，所以該命題正確．
C  由題得該點在平面ABC內的射影到到三頂點的距離相等，即為△ABC的外心，所以該命題正確．
D  由題得該點在平面ABC內的射影到到三邊的距離相等，而到三角形三邊距離相等的點是三角形的內心或是旁心．所以該命題不正確．
故選D．

點評：此題考查是三角形五心的概念及線線垂直判斷，第四個命題的判斷是學生的難點，因為旁心和內心都符合到三角形三邊距離相等的條件，而在我們的教學過程中只注重內心問題．