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如右圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點.

(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)若AC=BD,求證:四邊形EFGH是菱形;

(3)當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是正方形

 

【答案】

(1)證明:在△ABC中,E,F分別是邊AB,BC中點,所以EF∥AC,且EF=AC,同理有GH∥AC,且GH=AC,

∴EF∥GH且EF=GH,故四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)證明:仿(1)中分析,EH∥BD且EH=BD,若AC=BD,則有EH=EF,又因為四邊形EFGH是平行四邊形,

∴四邊形EFGH是菱形.

(3)由(2)知,AC=BD(四邊形EFGH是菱形,欲使EFGH是正方形,還要得到∠EFG=90°,而∠EFG與異面直線AC,BD所成的角有關,故還要加上條件AC⊥BD.∴當AC=BD且AC⊥BD時,四邊形EFGH是正方形.

【解析】略

 

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如右圖所示,正三棱錐(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)中,分別是 的中點,上任意一點,則直線所成的角的大小是(  )

A.  B.   C.   D.隨點的變化而變化。

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A.  B.   C.   D.隨點的變化而變化.

 

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如右圖所示,正三棱錐(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)中,分別是 的中點,上任意一點,則直線所成的角的大小是(       )

A. 30°             B. 90°

C. 60°             D. 隨點的變化而變化.

 

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 如右圖所示,在三棱錐中,分別是的中點, 設三棱柱的體積為, 那么三棱臺的體積為     (用表示)

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