Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-4，4]
（1）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[-4，4]上是單調函數
（2）若函數f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無交點，求實數a的取值范圍
（3）若函數f（x）在[-4，4]上的最小值為-16，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數在區間[-4，4]上是單調函數，可得f（x）的對稱軸落在區間[-4，4]外，即-a≤-4或-a≥4，解出m即可；
（2）由題意知，若函數f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無交點，只需f（x）_min＞-2，問題轉而求函數f（x）的最小值，由于f（x）是開口向上的二次函數，則f(x)min=f(-a)=-a2+2；
（3）由（1）可知，需分三種情況①當a≤-4時，②當-4＜a＜4時，③當a≥4時，分別求出最小值，讓f（x）_min=-16，解出a即可．

解答：解：二次函數f（x）=x²+2ax+2的對稱軸為x=-a，
（1）由于此函數在區間[-4，4]上是單調函數，
可得f（x）的對稱軸落在區間[-4，4]外，
即-a≤-4或-a≥4，解得a≤-4或a≥4，
故a的取值范圍是a≤-4或a≥4；
（2）若函數f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無交點，只需f（x）_min＞-2，
又由于二次函數f（x）=x²+2ax+2是開口向上的二次函數，
則f(x)min=f(-a)=-a2+2＞-2，解得-2＜a＜2，
故實數a的取值范圍是-2＜a＜2；
（3）①當a≤-4時，
二次函數f（x）=x²+2ax+2在區間[-4，4]上是單調減函數，
則f（x）_min=f（4）=18+8a，解f（x）_min=-16得到 a=-

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4

②當-4＜a＜4時，二次函數f（x）=x²+2ax+2在區間[-4，4]上不是單調函數，
則f(x)min=f(-a)=-a2+2，解f（x）_min=-16得到 a=±

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（舍）
③當a≥4時，
二次函數f（x）=x²+2ax+2在區間[-4，4]上是單調增函數，
則f（x）_min=f（-4）=18-8a，解f（x）_min=-16得到 a=

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4

綜上可得 a=±

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4

．

點評：本題主要考察二次函數的單調性與最值，注意含參的二次函數求最值時，要對參數分類討論．