Question

（2012•許昌縣一模）已知實數a＞0且函數f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域為P={y|-3a²≤y≤3a²}．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若至少存在一個實數m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的性質，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可得||x-2a|-|x+a||≤3a，進而根據函數的值域為P，求出a值；
（2）由（1）構造函數h（m）=f（m）-f（1-m），并結合絕對值的性質，求出函數的最大值，進而得到實數n的取值范圍．

解答：解：（I）∵實數a＞0
∴||x-2a|-|x+a||≤|x-2a+（-x-a）|=|3a|=3a
∴-3a≤|x-2a|-|x+a|≤3a
由函數f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域為P={y|-3a²≤y≤3a²}．
∴3a²=3a
解得a=1
（II）∵f（x）=|x-2|-|x+1|
∴h（m）=f（m）-f（1-m）
=（|m-2|-|m+1|）-（|1-m-2|-|1-m+1|）
=|m-2|-|m+1|-|-m-1|+|-m+2|
=2（|m-2|-|m+1|）=

4m-6，m＜-1 -6，-1≤m≤2 6-4，m＞2

故h（m）的最小值為-6
若至少存在一個實數m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，
僅須n≥-6

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數，其中熟練掌握絕對的性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|是解答的關鍵．