Question

設函數f（x）=（ax²-bx）e^x的圖象與直線ex+y=0相切于點A，且點A的橫坐標為1．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間，并指出在每個區間上的增減性．

Answer 1

（1）f′（x）=（2ax-b）e^x+（ax²-bx）e^x=[ax²+（2a-b）x-b]e^x（2分）
由于f（x）的圖象與直線ex+y=0相切于點A，點A的橫坐標為1，則A（1，-e）
所以

f(1)=-e f′(1)=-e

（4分）
即

(a-b)e=-e (3a-2b)e=-e

解得a=1，b=2．（7分）

（2）由a=1，b=2，得f（x）=（x²-2x）e^x，定義域為（-∞，+∞），
f′(x)=(x2-2)ex=(x-

2

)(x+

2

)ex.（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜-

2

或x＞

2

；
令f'（x）＜0，解得-

2

＜x＜

2

．
故函數f（x）在區間(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)上分別單調遞增，
在區間(-

2

，

2

)上單調遞減．（13分）