Question

設P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的任意一點，又點Q（0，-4），則|PQ|的最大值為

8

．

Answer 1

分析：設點P坐標為（x，y），由橢圓的方程結合兩點間的距離公式化簡得PQ|²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

，結合二次函數的圖象和y∈[-4，4]，可得當y=4時，|PQ|²=的最大值為64，從而得到|PQ|的最大值．

解答：解：設點P坐標為（x，y），則|PQ|²=x²+（y+4）²
∵點P（x，y）在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上
∴x²=25（1-

y2

16

），可得
|PQ|²=（25-

25y2

16

）+（y+4）²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

∵橢圓上點P的縱坐標y∈[-4，4]
∴當y=4時，|PQ|²=的最大值為64，由此可得|PQ|的最大值為8
故答案為：8

點評：本題給出橢圓上的動點P，求P到定點（0，-4）的距離最大值．著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．