Question

（本小題滿分16分）
已知（，為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數
在內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間，使函數在區間上的值域為，那么稱，為閉函數。請解答以下問題：
（1）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；
（2）求證：函數（）為閉函數；
（3）若是閉函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數；
(2) 見解析；（3）．

試題分析：（1）因為函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意，不成立。
（2）利用高次函數來分析，利用單調性的定義分析和證明。
（3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間
為，利用對應相等得到結論。
解：（1）函數在區間上單調遞減，在上單調遞增；---2分
所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數---4分
(2) 先證符合條件①：對于任意
且，有       
，      ，故是上的減函數．
又因為在上的值域是。                     ---------8分
（3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間
為，則；故是的兩個不等根，即方程組為：
有兩個不等非負實根；         - -- --- ------11分
設為方程的二根，則 ，
解得：的取值范圍．            --- --- ---16分
點評：解決該試題的關鍵是理解概念，運用函數的單調性和函數的某個區間，是否滿足定義域和值域相同得到結論。