Question

甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃； 已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為

1

2

、

2

3

；
（1）在前3次投籃中，乙投籃的次數為ξ，求Eξ；
（2）若第n次由甲投籃的概率為a_n，求a_n與a_n-1的關系式，并求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）確定ξ的取值，利用投藍規則，求出相應的概率，可得分布列，從而可求Eξ；
（2）利用投藍規則，可求a_n與a_n-1的關系式，進而可求極限．

解答：解：（1）由題意，ξ的取值為0，1，2，則P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

3

=

5

12

，P(ξ=2)=

1

2

×

2

3

=

1

3

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 4	5 12	1 3

∴Eξ=0×

1

4

+1×

5

12

+2×

1

3

=

13

12

（2）由已知可得an=an-1•

1

2

+(1-an-1)•

1

3

(n∈N*，n≥2)
∴an=

1

6

an-1+

1

3

，
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(

1

6

an-1+

1

3

)=

1

6

lim

n→∞

an+

1

3

∴

lim

n→∞

an=

2

5

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查數列遞推式，屬于中檔題．