Question

已知函數。
（1）求函數在區間上的值域；
（2）是否存在實數a，對任意給定的，在區間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在.

試題分析：（1）∵，因此可以得到在是單調遞增的，從而可以得到在的值域為；（2）根據題意以及（1）中所求，問題等價于對任意的，
在上總有兩個不同的實根，因此在不可能是單調函數，通過求得首先可以預判的大致的取值范圍為，再由此范圍下的單調性可以得到在的極值，從而可以建立關于的不等式，進而求得的取值范圍.
（1）∵在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，且的值域為  6分；
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的，
在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調函數  7分
，其中，
①當時，在區間上單調遞減，不合題意  8分，
②當時，在區間上單調遞增，不合題意  10分，
③當，即時，在區間上單調遞減；在區間上單調遞增，
由上可得，此時必有且  12分
而上可得，則，
綜上，滿足條件的a不存在  14分．