Question

已知數(shù)列滿足：是數(shù)列的前n項和.數(shù)列前n項的積為，且

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)a,使得成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）是否存在，滿足對任意自然數(shù)時，恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由條件可得數(shù)列隔項成等差數(shù)列，從而分別得到n為奇數(shù)和偶數(shù)時的通項公式，合并即得數(shù)列的通項公式.再由數(shù)列前n項的積為，由再驗證時的情況，即可得到的通項公式；（Ⅱ）先求出的表達(dá)式，再假設(shè)成等差數(shù)列，由等差中項的知識，，代入發(fā)現(xiàn)等式恒不成立，從而得到不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列的結(jié)論；（Ⅲ）由上問可知即證明存在，滿足對任意自然數(shù)時，，易知存在m=4使得當(dāng)時，恒成立.接著用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

試題解析：（Ⅰ）由題知，∴，∴

即數(shù)列隔項成等差數(shù)列，                           1分

又 

∴當(dāng)n為奇數(shù)時，，

當(dāng)n為偶數(shù)時，                    2分

∴對一切               3分

又，當(dāng)時，且時滿足上式，

∴對一切                       5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列成等差數(shù)列，∴

∴     7分

若存在常數(shù)a，使得成等差數(shù)列，則在時恒成立

 即

 ∴不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列                 9分

（Ⅲ）存在使得當(dāng)時，恒成立，

即當(dāng)時，，下面用用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，.

②假設(shè)時，成立，即.

則當(dāng)，，所以時，成立.

綜合①②得，成立.所以當(dāng)時，.     13分

考點：1.等差數(shù)列通項公式；2.等差中項；3.數(shù)學(xué)歸納法.