Question

(2007重慶．19)如下圖，在直三棱柱中，，AB=1，∠ABC=90°；點(diǎn)D、E分別在、上，且，四棱錐C－與直三棱柱的體積之比為3∶5．

(1)求異面直線DE與的距離；

(2)若，求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則B(0，0，0)，(0，0，2)，A(0，1，0)，(0，1，2)，則=(0，0，2)，=(0，－1，0)． 設(shè)(a，0，2)，則=(a，0，0)． 又設(shè)， 則， 從而，即． 又，所以是異面直線與DE的公垂線． 下面求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 設(shè)D(0，0，z)，則=(0，0，z)． 因四棱角的體積為 ． 而直三棱柱的體積為 ． 由已知條件，故，解得，即． 從而，，， 接下來(lái)再求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 由，有，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 又由，　　　　　　　　　　　　　　　　② 聯(lián)立①②，解得，， 即，得． 故． (2)由已知，則，從而，過(guò)作，垂足為F，連接． 設(shè)，則，因?yàn)?IMG align="absmiddle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/1052/1359/d1b934a4cd0bdf05f3ad6cfb84298eb4/C/Image38072.gif">， 故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 因且，得，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 聯(lián)立①②解得，，即． 則，， ． 又，故，因此為所求二面角的平面角． 又=(0，－1，0)， 從而，故，為直角三角形，所以 ．