Question

已知函數f（x）=x²（ax+b），（a，b∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求a、b的值和函數f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[1，4]時，方程f（x）-t=0恰有一實根，試確定t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=2處有極值，得 f'（2）=0，由圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行，得f'（1）=-3，聯立方程組解出即可；
（2）借助（1）問結論作出f（x）在[1，4]上的草圖，則方程f（x）-t=0恰有一實根即為y=f（x）與y=t的圖象只有一個交點，由圖象即可求得范圍．

解答：解：（1）因為函數f（x）=x²（ax+b）在x=2處取得極值，
所以 f'（2）=12a+4b=0①，
由圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行，
則 f'（1）=3a+2b=-3②，
聯立①②解得 a=1，b=-3，
代入f（x），得 f（x）=x³-3x²，此函數的定義域為（-∞，∞），
f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以函數f（x）在區間（-∞，0]和[2，∞）上是單調遞增的；在區間（0，2）上是單調遞減的；
（2）由（1）知：f（x）在[1，2]上單調遞減，在[2，4]上單調遞增，
當x=2時f（x）取得極小值，也即最小值為f（2）=8-12=-4，f（1）=1-3=-2，f（4）=64-48=16．
作出y=f（x）（1≤x≤4）的草圖如下圖所示：

方程f（x）-t=0恰有一實根，即y=f（x）與y=t的圖象只有一個交點，
由圖象知：-2＜t≤16或t=-4．
故實數t的取值范圍為：-2＜t≤16或t=-4．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性及方程根的個數問題，考查數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．