Question

某地區的農產品A第z天（1≤x≤20）的銷售價格p=40-|x一6|（元/千克），一農戶在第x天（1≤x≤20）農產品A的銷售量q=30+|x一8|（千克）．
（1）求該農戶在第7天銷售農產品的收入；
（2）問這20天中該農戶在哪一天的銷售收入最大？最大收入為多少？

Answer 1

分析：（1）第7天的銷售價格p=40-|x-6|=40-|7-6|=39，銷售量q=30+|x-8|=30+|7-8|=31，從而可得第7天的銷售收入；
（2）若設第x天的銷售收入為W_x，則Wx=pq=（40-|x-6|）（30+|x-8|），去掉絕對值后是分段函數，求得函數W_x的每一段的最大值，并通過比較得出，第幾天該農戶的銷售收入最大．

解答：解：（1）由已知第7天的銷售價格p=40-|x-6|=40-|7-6|=39，銷售量q=30+|x-8|=30+|7-8|=31．
∴第7天的銷售收入W₇=pq=39×31=1209（元）．
（2）設第x天的銷售收入為W_x，則W_x=

(34+x)(38-x)，1≤x≤6 1209，x=7 (46-x)(22+x)，8≤x≤20

當1≤x≤6時，Wx=（34+x）（38-x）≤[

(34+x)+(38-x)

2

]²=1296（當且僅當x=2時取等號），∴當x=2時有最大值W₂=1296；
當8≤x≤20時，W_x=（46-x）（22+x）≤[

(46-x)+(22+x)

2

]²=1156（當且僅當x=12時取等號），∴當x=12時有最大值W₁₂=1936；
由于W₂＞W₇＞W₁₂，所以，第2天該農戶的銷售收入最大．

點評：本題考查了含有絕對值的函數模型的應用；含有絕對值的函數，通常轉化為分段函數來解答，本題是中檔題目．