Question

在極坐標系Ox中，已知曲線C₁：ρcos（=，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），C₃：，設C₁與C₂交于點M
（I）求點M的極坐標；
（II）若動直線l過點M，且與曲線C₃交于兩個不同的點A，B，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，解方程組求得點M的直角坐標為（1，0），從而求得它的極坐標．
（II）設動直線l的參數方程為 ，代入曲線C₃的方程整理，利用一元二次方程根與系數的關系求得t₁+t₂和t₁•t₂的值，再由|MA|•|MB|=|t₁•t₂|，|AB|=
，求出=，由此求得它的最小值．
解答：解：（I）曲線C₁：ρcos（=，即 x-y=1，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），即 x²+y²=1（y≥0）．
 由求得點M的坐標為（1，0），故它的極坐標為（1，0）．
（II）設動直線l的參數方程為 ，代入曲線C₃的方程整理可得 （3sin²α+cos²α）t²+2cosα•t-2=0，
設點A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則 t₁+t₂=，t₁•t₂=．
∴|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=，|AB|==，
∴=．
∵0≤α≤π，∴0≤sin²α≤1，故的最小值為 =．
點評：本題主要考查簡單曲線的極坐標方程，參數的幾何意義的應用，一元二次方程根與系數的關系，屬于基礎題．