Question

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＜1．
②當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空．
③當x＞0時，有lnx+

1

lnx

≥2．
④設復數z滿足（1-i）z=2i，則z=1-i．
其中真命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據全稱命題的否定是特稱命題，是條件不變，否定結論，來判斷①是否正確；
舉例判斷②是否正確；
利用基本不等式求最值，來驗證③是否正確；
④根據所給的等式兩邊同時除以1-i，得到z的表示式，進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理成最簡形式，得到結果．

解答：解：對①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①為假命題；
對②，當a=1時，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集為空集，故②為假命題；
對③，∵x＞1，∴lnx＞0，∴lnx+

1

lnx

≥2，當 lnx=1即x=10時取等號，故③是假命題；
對④，∵復數z滿足z（1-i）=2i，
∴z=

2i

1-i

=

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=-1+i，故④為假命題．
故答案為：A

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查了全稱命題的否定、絕對值不等式、冪函數與指數函數的性質．利用基本不等式求最值時，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．