Question

已知函數f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，在函數的定義域內分x∈（0，a）和（a，+∞）討論導函數的符號，從而得到原函數的單調區間；
（Ⅱ）求出函數在x=x₀處的導函數，根據題意以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，可得導函數

x0-a

x02

≤

1

2

對x₀∈（0，3]恒成立，分離參數后求函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)，得：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

∵函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，且a＞0．
∴當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）的減區間為（0，a），增區間為（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′(x0)=

x0-a

x02

，
以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，
即

x0-a

x02

≤

1

2

對x₀∈（0，3]恒成立，即2x0-2a≤x02對x₀∈（0，3]恒成立，
也就是a≥-

x02

2

+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

對x₀∈（0，3]恒成立，
令g（x）=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

 （x₀∈（0，3]），
當x=1時，g(x)max=g(1)=

1

2

，
∴a≥

1

2

．
∴所求實數a的最小值為

1

2

．

點評：本題考查了利用函數的導函數研究函數的單調性，考查了導數的幾何意義，函數在圖象上某點處的切線的斜率就是在該點處的導數值，考查了利用分離變量法求參數的取值范圍，此題是中檔題．