Question

一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^* ）個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是．現從袋中任意摸出2個球．
（1）若n=15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是，那么
①分別求袋中裝有的黑球、白球和紅球的個數；
②設ξ 表示摸出的2個球中紅球的個數，求隨機變量ξ 的概率分布及數學期望Eξ；
（2）當n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？

Answer 1

解：（1）①由題意知本題是一個等可能事件的概率，
設袋中黑球的個數為x 個，記“從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件A，
則
∴x=6．
設袋中白球的個數為y （個），記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B，
則
∴y²-29y+120=0，∴y=5 或y=24 （舍）．
即白球個數為5個．
∴紅球的個數為15-6-5=4 （個）．
綜上，袋中裝有的黑球、白球和紅球的個數分別為6，5，4．
②由①知：隨機變量ξ 的取值為0，1，2，
分布列是

ξ	0	1	2
P

∴ξ 的數學期望．
（2）設袋中有黑球z 個，則，…）
設“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球”為事件C，
則，
當n=5 時，P（C） 最大，最大值為．
分析：（1）①本題是一個等可能事件的概率，設出袋中黑球的個數為x 個，試驗發生包含的事件數是15，表示出概率，解方程即可．
②由①知隨機變量ξ 的取值為0，1，2，結合第一問做出的結果，寫出變量的分布列和期望值．
（2）摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，需要表示出從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球的概率，整理出關于n的表示式，根據函數的性質得到結果．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是對于求最值的問題，要先表示出所求的量的表示式，在根據函數的性質求出最值．