Question

若數(shù)列{a_n}滿足

1

an+1

-

1

an

=d（n∈N^*，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列，已知數(shù)列{

1

xn

}為調(diào)和數(shù)列，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，則x₁+x₂₀=

20

；若x₅＞0，x₁₆＞0，則x₅•x₁₆的最大值為

100

．

Answer 1

分析：由題意知數(shù)列{x}是首相為x₁，公差為d₁的等差數(shù)列，則x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=x₁+x₁+d₁+x₁+2d₁+…+x₁+19d₁=20x₁+（1+19）×

19

2d1

=20d₁+190d₁=200，所求x5+x16=2x1+19d1=

200

10

=20．x₁+x₂₀=x₅+x₁₆=20．
x₅•x₁₆≤(

x5+x16

2

)2=(

20

2

)2=100．

解答：解：由題意知數(shù)列{a_n}的倒數(shù)成等差數(shù)列，則數(shù)列{

1

x

}的倒數(shù)成等差數(shù)列，
即x成等差數(shù)列，
所以設數(shù)列{x}是首相為x₁，公差為d₁的等差數(shù)列，
則x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=x₁+x₁+d₁+x₁+2d₁+…+x₁+19d₁
=20x₁+（1+19）×

19

2d1

=20d₁+190d₁=200，…①
所求x5+x16=2x1+19d1=

200

10

=20．
x₁+x₂₀=x₅+x₁₆=20．
x₅•x₁₆≤(

x5+x16

2

)2=(

20

2

)2=100．
故答案為：20，100．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．