Question

已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＞f′（x）對于x∈R恒成立（e為自然對數的底），則（　　）

A．e²⁰¹¹?f（2012）＜e²⁰¹²?f（2011）

B．e²⁰¹¹?f（2012）=e²⁰¹²?f（2011）

C．e²⁰¹¹?f（2012）＞e²⁰¹²?f（2011）

D．e²⁰¹¹?f（2012）與 e²⁰¹²?f（2011）大小不確定

Answer 1

分析：令g（x）=

f(x)

ex

對其進行求導，根據已知條件f（x）＞f'（x），可以判斷g（x）的單調性，從而進行求解；

解答：解：f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＞f'（x），
令g（x）=

f(x)

ex

，g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

(f′(x)-f(x))ex

e2x

，f（x）＞f'（x），
∴g′（x）＜0，g（x）為減函數，
∴g（2012）＜g（2011），
∴

f(2012)

e2012

＜

f(2011)

e2011

，
∴f（2012）e²⁰¹¹＜f（2011）e²⁰¹²，
故選A；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是構造函數g（x），是一道好題；