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在區間D上,如果函數f(x)為增函數,而函數為減函數,則稱函數f(x)為“弱增函數”.已知函數f(x)=1-
(1)判斷函數f(x)在區間(0,1]上是否為“弱增函數”;
(2)設x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,證明:|f(x2)-f(x1)|<
(3)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤≤1-bx恒成立,求實數a,b的取值范圍.
【答案】分析:(1)根據弱增函數的定義,只需證明函數f(x)在區間(0,1]上是增函數,而函數為減函數,即可;
(2)證法1:要證|f(x2)-f(x1)|<,不妨設0≤x1<x2,構造函數g(x)=f(x)-,利用導數證明該函數在(0,+∞)單調遞減即可證明結論;
證法2:把f(x)=1-代入|f(x2)-f(x1)|,利用分母有理化,即可證明結論;
(3)要解)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤≤1-bx恒成立,利用分離參數轉化為當x∈(0,1]時,等價于恒成立,即可求得實數a,b的取值范圍.
解答:解:(1)顯然f(x)在區間上為增函數(0,1],
因為=====
所以在區間(0,1]上為減函數.
所以f(x)在區間(0,1]上為“弱增函數”.

(2)證法1:要證|f(x2)-f(x1)|<,不妨設0≤x1<x2
由f(x)=1-在[0,+∞)單調遞增,
得f(x2)>f(x1),
那么只要證f(x2)-f(x1)<
即證f(x2)-<f(x1)-
令g(x)=f(x)-,則問題轉化為只要證明g(x)=f(x)-在[0,+∞)單調遞減即可.
事實上,g(x)=f(x)-=1--
當x∈[0,+∞)時,g′(x)=-≤0,
所以g(x)=f(x)-在[0,+∞)單調遞減,
故命題成立.
證法2:|f(x2)-f(x1)|==
=
因為x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2>2,
所以|f(x2)-f(x1)|<

(3)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤≤1-bx恒成立.
當x=0時,不等式顯然成立.
當x∈(0,1]時,等價于恒成立.
由(1)知為減函數,1-
所以a≥且b≤1-
點評:此題是個難題.考查基本初等函數的單調性,以及構造函數證明不等式和恒成立問題,綜合性強,方法靈活,很好的考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在區間D上,如果函數f(x)為增函數,而函數
1
x
f(x)
為減函數,則稱函數f(x)為“弱增”函數.已知函數f(x)=1-
1
1+x

(1)判斷函數f(x)在區間(0,1]上是否為“弱增”函數;
(2)設x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,證明|f(x2)-f(x1)|<
1
2
|x2-x1|

(3)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立,求實數a,b的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在區間D上,如果函數f(x)為增函數,而函數
1
x
f(x)
為減函數,則稱函數f(x)為“弱增函數”.已知函數f(x)=1-
1
1+x

(1)判斷函數f(x)在區間(0,1]上是否為“弱增函數”;
(2)設x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,證明:|f(x2)-f(x1)|<
1
2
|x1-x2|

(3)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤
1
1+x
≤1-bx恒成立,求實數a,b的取值范圍.

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在區間D上,如果函數f(x)為增函數,而函數為減函數,則稱函數f(x)為“弱增”函數.已知函數
(1)判斷函數f(x)在區間(0,1]上是否為“弱增”函數;
(2)設x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,證明
(3)當x∈[0,1]時,不等式恒成立,求實數a,b的取值范圍.

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在區間D上,如果函數f(x)為增函數,而函數
1
x
f(x)
為減函數,則稱函數f(x)為“弱增”函數.已知函數f(x)=1-
1
1+x

(1)判斷函數f(x)在區間(0,1]上是否為“弱增”函數;
(2)設x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,證明|f(x2)-f(x1)|<
1
2
|x2-x1|

(3)當x∈[0,1]時,不等式1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立,求實數a,b的取值范圍.

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