Question

點A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=

2

，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為

2

3

，則這個球的表面積為（　　）

• A．

  125

  6

  π
• B．8π
• C．

  25

  4

  π
• D．

  25

  16

  π

Answer 1

分析：根據幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答：解：根據題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為

1

3

×S_△ABC×DQ=

2

3

，
即

1

3

×1×DQ=

2

3

，∴DQ=2，如圖．
設球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=

5

4

則這個球的表面積為：S=4π（

5

4

）²=

25

4

π；
故選C．

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．