Question

三個頂點均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內接三角形．已知點A是橢圓的一個短軸端點，如果以A為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形有且僅有三個，則橢圓的離心率的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設橢圓的方程為，直線AB方程為y=kx+b（k＞0），兩方程聯解得到B的橫坐標為-，從而得|AB|=•，同理得到|AC|=•．根據|AB|=|AC|建立關于k、a、b的方程，化簡整理得到（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0，結合題意得該方程有三個不相等的實數根，根據一元二次方程根與系數的關系和根的判別式建立關于a、b的不等式，解之即得c²＞2b²，由此結合a²=b²+c²即可解出該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：設橢圓的方程為（a＞b＞0），
根據BA、AC互相垂直，設直線AB方程為y=kx+b（k＞0），AC方程為y=-x+b
由，消去y并化簡得（a²k²+b²）x²+2ka²bx=0
解之得x₁=0，x₂=-，可得B的橫坐標為-，
∴|AB|=|x₁-x₂|=•．
同理可得，|AC|=•
∵△ABC是以A為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形，
∴|AB|=|AC|即•=•，
化簡整理，得b²k³-a²k²+a²k-b²=0，分解因式得：（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0…（*）
方程（*）的一個解是k₁=1，另兩個解是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根
∵k₁=1不是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根，
∴當方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0有兩個不相等的正數根時，方程（*）有3個不相等的實數根
相應地，以A為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形也有三個．
因此，△=（b²-a²）²-2b⁴＞0且，化簡得c²＞2b²
即3c²＞2a²，兩邊都除以3a²得＞，
∴離心率e滿足e²＞，解之得e＞，結合橢圓的離心率e＜1，得＜e＜1
故選：D
點評：本題給出以橢圓上頂點為直角頂點的內接等腰直角三角形存在3個，求橢圓的離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與橢圓位置關系等知識點，屬于中檔題．