【題目】已知函數
(Ⅰ)若直線且曲線
在A處的切線與
在B處的切線相互平行,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設在其定義域內有兩個不同的極值點
且
若不等式
恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出可得
在
有解,轉化為函數
與
的圖象在
上有交點,求出相切時
,利用數形結合思想可得結果;(Ⅱ)根據極值點的定義可得
,作差可得
,
等價于
令
,則
,不等式
在
上恒成立,討論兩種情況,分別利用導數研究函數的單調性,根據單調性可得函數最值,從而篩選符合題意的
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)依題意,函數的定義域為(0,
),
因為曲線
在A處的切線與
在B處的切線相互平行,所以
有解,即方程
有解.
方程有解轉化為函數
的圖像在
上有交點,
如圖,令過原點且與函數的圖像相切的直線的斜率為
,只須
令切點為,所以
,所以
(Ⅱ)
因為在其定義域內有兩個不同的極值點,所以
的兩個根,即
因為
令,則
,由題意知,不等式
上恒成立.
令
如果所以
上單調遞增,又
上恒成立,符合題意.
如果時,
上單調遞增,在
上單調遞減,又
上不能恒小于0,不符合題意,舍去.
綜上所述,若不等式恒成立,只須
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯網共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調查機構借助網絡進行了問卷調查,并從參與調查的網友中隨機抽取了200人進行抽樣分析,得到下表(單位:人):
經常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據以上數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關?
(2)現從所有抽取的30歲以上的網民中利用分層抽樣抽取5人,
求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數;
從這5人中,在隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】給出下列命題,其中正確的序號是________(寫出所有正確命題的序號).
①已知集合,
,則映射
中滿足
的映射共有
個;
②函數的圖象關于
對稱的函數解析式為
;
③若函數的值域為
,則實數
的取值范圍是
;
④已知函數的最大值為
,最小值為
,則
的值等于
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個圓錐的底面半徑為1,高為3,在圓錐中有一個半徑為x的內接圓柱.
(1)試用x表示圓柱的高;
(2)當x為何值時,圓柱的側面積最大,最大側面積是多少?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,試求函數y=(x>0)的最小值;
(2)對于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,試求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,且
,其中
,
,
分別是
,
,
的中點,動點
在線段
上運動時,下列四個結論:①
;②
;③
面
;④
面
,
其中恒成立的為( )
A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校做了一次關于“感恩父母”的問卷調查,從8~10歲,11~12歲,13~14歲,15~16歲四個年齡段回收的問卷依次為:120份,180份,240份,x份.因調查需要,從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本,其中在11~12歲學生問卷中抽取60份,則在15~16歲學生中抽取的問卷份數為( )
A.60 B.80 C.120 D.180
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x|x-a|+bx.
(1)若a=2,且f(x)是R上的增函數,求實數b的取值范圍;
(2)當b=0時,若關于x的方程f(x)=x+1有三個實根,求a的取值范圍.
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