Question

已知f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在閉區間[0，π]上的最小值并求當f（x）取最小值時x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數的最小正周期；
（2）由x的范圍求出“

x

2

+

π

4

”的范圍，再由正弦函數的性質求出函數的最小值以及對應的x的值．

解答：解：（1）由題意得，f(x)=sin

x

2

-

3

(1-cos

x

2

)+

3

=sin

x

2

+cos

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
（2）由0≤x≤π得，

π

4

≤

x

2

+

π

4

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin(

x

2

+

π

4

)≤1，即1≤

2

sin(

x

2

+

π

4

)≤

2

，
則當

x

2

+

π

4

=

π

4

或

3π

4

，即x=0或π時，f（x）取最小值是1．

點評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式，正弦函數的性質應用，屬于中檔題．